Sistem Persamaan Linier dengan Tiga Variabel

Sebagai contoh, marilah kita coba untuk mencari solusi sistem persamaan linier dengan tiga variabel berikut ini

x	+	y	−	z	=	1	(1)
8x	+	3y	−	6z	=	1	(2)
−4x	−	y	+	3z	=	1	(3)

Metode eliminasi

Metode ini bekerja dengan care mengeliminasi (menghilangkan) variabel-variabel di dalam sistem persamaan hingga hanya satu variabel yang tertinggal.
Pertama-tama, lihat persamaan-persamaan yang ada dan coba cari dua persamaan yang mempunyai koefisien yang sama (baik positif maupun negatif) untuk variabel yang sama. Misalnya, lihat persamaan (1) dan (3). Koefisien untuk y adalah 1 dan -1 untuk masing-masing persamaan. Kita dapat menjumlah kedua persamaan ini untuk menghilangkan y dan kita mendapatkan persamaan (4).

x	+	y	−	z	=	1	(1)
−4x	−	y	+	3z	=	1	(3)
-------------------------							+
−3x			+	2z	=	2	(4)

Perhatikan bahwa persamaan (4) terdiri atas variabel x dan z. Sekarang kita perlu persamaan lain yang terdiri atas variabel yang sama dengan persamaan (4). Untuk mendapatkan persamaan ini, kita akan menghilangkan y dari persamaan (1) dan (2). Dalam persamaan (1) dan (2), koefisien untuk y adalah 1 dan 3 masing-masing. Untuk menghilangkan y, kita kalikan persamaan (1) dengan 3 lalu mengurangkan persamaan (2) dari persamaan (1).

x

+

y

−

z

=

1

(1)

× 3

3x

+

3y

−

3z

=

3

(1)

8x

+

3y

−

6z

=

1

(2)

8x

+

3y

−

6z

=

1

(2)

-------------------------

-

−5x

+

3z

=

2

(5)

Dengan persamaan (4) dan (5), mari kita coba untuk menghilangkan z.

−3x

+

2z

=

2

(4)

× 3

−9x

+

6z

=

6

(4)

−5x

+

3z

=

2

(5)

× 2

−10x

+

6z

=

4

(5)

-------------------------

−

x

=

2

(6)

Dari persamaan (6) kita dapatkan x = 2. Sekarang kita bisa subtitusikan (masukkan) nilai dari x ke persamaan (4) untuk mendapatkan nilai z.

−3(2) + 2z	=	2	(4)
−6 + 2z	=	2
2z	=	8
z	=	8 ÷ 2
z	=	4

Akhirnya, kita substitusikan (masukkan) nilai dari z ke persamaan (1) untuk mendapatkan y.

2 + y − 4	=	1	(1)
y	=	1 − 2 + 4
y	=	3

Jadi solusi sistem persamaan linier di atas adalah x = 2, y = 3, z = 4.

---

Metode substitusi

Pertama-tama, marilah kita atur persamaan (1) supaya hanya ada 1 variabel di sebelah kiri.

x = 1 − y + z    (1)

Sekarang kita substitusi x ke persamaan (2).

8(1 − y + z) + 3y − 6z	=	1	(2)
8 − 8y + 8z + 3y − 6z	=	1
−5y + 2z	=	1 − 8
−5y + 2z	=	−7	(4)

Dengan cara yang sama seperti di atas, substitusi x ke persamaan (3).

−4(1 − y + z) − y+ 3z	=	1	(3)
−4 + 4y − 4z − y+ 3z	=	1
3y − z	=	1 + 4
3y − z	=	5	(5)

Sekarang kita atur persamaan (5) supaya hanya ada 1 variabel di sebelah kiri.

z = 3y − 5    (6)

Kemudian, substitusi nilai dari z ke persamaan (4).

−5y + 2(3y − 5)	=	−7	(4)
−5y + 6y − 10	=	−7
y	=	−7 + 10
y	=	3

Sekarang kita sudah tahu nilai dari y, kita dapat masukkan nilai ini ke persamaan (6) untuk mencari z.

z	=	3(3) − 5	(6)
z	=	9 − 5
z	=	4

Akhirnya, kita substitusikan nilai dari y dan z ke persamaan (1) untuk mendapatkan nilai x.

x	=	1 − 3 + 4	(1)
x	=	2

Jadi, kita telah menemukan solusi untuk sistem persamaan linier di atas: x = 2, y = 3, z = 4.

---

Metode grafik

Penyelesaian sistem persamaan linier dengan metode grafik dilakukan dengan cara menggambar garis garis atau bidang planar yang merupakan representasi dari persamaan-persamaan yang ada dalam sistem tersebut. Solusinya adalah koordinat-koordinat yang merupakan titik potong dari garis-garis ataupun bidang-bidang planar itu.
Sebagai contoh, marilah kita lihat sistem persamaan liniear dengan dua variabel berikut ini.

x	+	y	=	3	(1)
2x	−	y	=	−3	(2)

Gambar kedua garis dari persamaan-persamaan di atas.
Seperti terlihat pada grafik di atas, kedua garis itu bertemu (mempunyai titik potong) pada titik (0,3). Ini adalah solusi dari sistem persamaan linier tersebut, yaitu x = 0, y = 3.
Untuk persamaan linier dengan tiga variabel, solusinya adalah titik pertemuan dari tiga bidang planar dari masing-masing persamaan.

---

Metode Matriks Invers

Sistem persamaan linier yang terdiri atas persamaan-persamaan (1), (2), dan (3) di atas dapat juga ditulis dengan bentuk notasi matriks AB = C seperti berikut

1 1 -1 8 3 -6 -4 -1 3

x y z

=

1 1 1

Solusinya adalah matriks B. Agar kita dapat mengisolasi B sendirian di salah satu sisi dari persamaan di atas, kita kalikan kedua sisi dari persamaan di atas dengan invers dari matriks A.

A−1AB	=	A−1C
B	=	A−1C

Sekarang, untuk mencari B kita perlu mencari A⁻¹. Silakan melihat halaman tentang matriks untuk belajar bagaimana mencari invers dari sebuah matriks.

A−1 =	-3 2 3 0 1 2 -4 3 5
B =	-3 2 3 0 1 2 -4 3 5	1 1 1
B =	2 3 4

Jadi solusinya adalah x = 2, y = 3, z = 4.
Metode ini dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linier dengan n variabel. Kalkulator di atas juga menggunakan metode ini untuk menyelesaikan sistem persamaan linier.

---

Eliminasi Gauss / Eliminasi Gauss-Jordan

Sistem persamaan liniear yang terdiri atas persamaan-persamaan(1), (2), dan (3) dapat juga dinyatakan dalam bentuk matriks teraugmentasi A seperti berikut

A =	1 1 -1 1 8 3 -6 1 -4 -1 3 1

Dengan melakukan serangkaian operasi baris (Eliminasi Gauss), kita dapat menyederhanakan matriks di atas untuk menjadi matriks Eselon-baris.

A =	1 0,375 -0,75 0,125 0 1 -0,4 1,4 0 0 1 4

Kemudian kita bisa substitusikan kembali nilai-nilai yang kita dapat untuk mencari nilai dari semua variabel. Atau, kita juga bisa meneruskan dengan serangkaian operasi baris lagi sehingga matriks di atas menjadi matriks yang Eselon-baris tereduksi (dengan menggunakan Eliminasi Gauss-Jordan).

A =	1 0 0 2 0 1 0 3 0 0 1 4

Dengan melakukan operasi Eliminasi Gauss-Jordan, kita mendapatkan solusi dari sistem persamaan linier di atas pada kolom terakhir: x = 2, y = 3, z = 4.

Tweet